Question

函数f(x)=x³＋ax²＋b的图像在点p(1，0)处的切线与直线3x＋y=0平行 （1）:

函数f(x)=x³＋ax²＋b的图像在点p(1，0)处的切线与直线3x＋y=0平行 （1）:求a,b (2):求函数f(x)在＜0，t＞(t＞0)内的最大值。

Answer 1

解：
(1).
f(x)定义域为x∈R。
f'(x)=3x²+2ax，f'(1)=3+2a=-3，所以a=-3
f(1)=1-3+b=0，所以b=2
所以a=-3，b=2。
(2)
f(x)=x³-3x²+2，f'(x)=3x²-6x
当f'(x)=0时，3x²-6x=0，即x(x-2)=0，解得x1=0，x2=2。所以：
x ∈ (-∞,0) , 0 , (0,2) , 2 , (2,+∞)
f'(x) >0 , =0 , <0 , =0 , >0
f(x) 递增 , 极大值, 递减 ,极小值, 递增
因为t>0，所以：
①当0<t<2时，f(x)在[0,t]上单调递减，所以f(x)max=f(0)=2，f(x)min=f(t)=t³-3t²+2；
②当t≥2时，f(x)在[0,2]上单调递减，在(2,+∞)上递增，此时f(x)min=f(2)=-2；
而f(0)=2=f(t)=t³-3t²+2时，t1=t2=0，t3=3，所以：
I. 当2≤t≤3时，f(x)max=f(0)=2；
II. 当t>3时，f(x)max=f(t)=t³-3t²+2
所以综上所述：
当0<t<2时，函数f(x)在[0,t]上最小值为t³-3t²+2，最大值为0；
当2≤t≤3时，函数f(x)在[0,t]上最小值为-2，最大值为0；
当t>3时，函数函数f(x)在[0,t]上最小值为-2，最大值为t³-3t²+2。