Question

第一题的1,2小题，求解答

Answer 1

（1）先求齐次方程y'+ysinx=0的解
dy/dx=-ysinx
dy/y=-sinxdx
ln|y|=cosx+C
y=C*e^cosx
再通过待定系数法，求原方程y'+ysinx=e^cosx的解
令y=u(x)*e^cosx
u'*e^cosx-u*e^cosx*sinx+u*e^cosx*sinx=e^cosx
u'=1
u(x)=C
所以原方程的通解为y=C*e^cosx，其中C是任意常数
（2）先求齐次方程2y'-y=0的解
2dy/dx=y
dy/y=(1/2)dx
ln|y|=x/2+C
y=C*e^(x/2)
再通过待定系数法，求原方程2y'-y=e^x的解
令y=u(x)*e^(x/2)
2u'*e^(x/2)+u*e^(x/2)-u*e^(x/2)=e^x
u'=(1/2)*e^(x/2)
u(x)=e^(x/2)+C
所以原方程的通解为y=e^x+C*e^(x/2)，其中C是任意常数