Question

数学题（代数）

f(n-1)=(x-a)f(n-2)+a(x+a)^(n-2)，
f(n-2)=(x-a)f(n-3)+a(x+a)^(n-3)，
f(n-3)=(x-a)f(n-4)+a(x+a)^(n-4)，
......
f(1)=x，求f(n-1)的表达式。（要详细解题过程，谢谢！）

Answer 1

令A=x-a,B=x+a
因为f(n-1)=(x-a)f(n-2)+a(x+a)^(n-2)，
f(n-2)=(x-a)f(n-3)+a(x+a)^(n-3)，
f(n-3)=(x-a)f(n-4)+a(x+a)^(n-4)，
......
f(1)=x，所以f(2)=Ax+aB
所以f(n)=(x-a)f(n-1)+a(x+a)^(n-1)……（1）
f(n-1)=(x-a)f(n-2)+a(x+a)^(n-2)……（2）
即f(n)=A*f(n-1)+aB^(n-1)……（1），
f(n-1)=Af(n-2)+aB^(n-2)……（2），
（1）-B*（2），得，
f(n)-B*f(n-1)=A*f(n-1)-AB*f(n-2),
即f(n)-B*f(n-1)=A*[f(n-1)-B*f(n-2)],
令g(n)=f(n)-B*f(n-1)……（3）,
所以g(n)=A*g(n-1)
所以数列g(n)是以g(2)为首项，A为公比的等比数列，
所以g(n)=g(2)*A^(n-2)……（4），而g(2)=f(2)-B*f(1)=Ax+aB-Bx,
将（3）代入（4），所以f(n)-B*f(n-1）=（Ax+aB-Bx）*A^(n-2）
因为f(n)=A*f(n-1)+aB^(n-1)，
所以Af(n-1)+aB^(n-1)-Bf(n-1)=（Ax+aB-Bx）*A^(n-2）,化简得，
f(n-1)=[(A-B)*x*A^(n-2)+aB*A^(n-2)-aB^(n-1)]/(A-B),因为A=x-a,B=x+a，
所以f(n-1)=x*(x-a)^(n-2)-(x+a)*(x-a)^(n-2)/2+(x+a)^(n-1)/2

Answer 2

递归数列+陈家声,徐惠芳-中学生文库（百度文库）
百度文库搜索 递归数列

假设f（n-1)-K*(x+a)^(n-2)=(x-a)[f(n-2)-K*(x+a)^(n-3)]待定系数法
解得K=a（a+x)/(2x).容易求得此等比数列{f（n-1)-a(a+x)^(n-1)/(2x)}的通项。

想了很久

Answer 3

设Y=（C-D)(X-1)+D(C+D)^(X-1) 其中 C=x ，D=a ，（n-1）=X 注意为大写的X
此时，自变量为X,应变量为Y
f（1）=x 则等效成以下：
当X=1时，Y=C，则D=C，即x=a
f（n-1）=a（2a）^(n-1-1)

Answer 4

针对第一个式子来求，将左右式同时除以（x－a）^(n-1)，因为写起来很麻烦，我一边说，你一边按我说的做，这时得到一个新式子，分别用3，4，5…代替n,会得到很多式子，将这些式子左右两边分别相加，又成为一个式子，你会发现它的左右两边有相同的项，消去相同项，右边代入已知f(1)=x,其余的项恰好构成等比数列，可用公式求其和，接下来你就会得到结果

Answer 5

因为f(1)=x,所以代入第一个式子,n=2,f(0)=1;
代入第二个式子,n=3;
.......
因此f内的变量差为1,f(n-1)=x