Question

大学高等数学，曲线积分有不懂，请教，r不是等于2分之a吗？

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Answer 1

不是，这里的r是一个函数，不是常数，更准确说
r = a sin(θ) 要 写作 r(θ) = a sin(θ)，r是关于θ的函数
x² + (y-a/2)² = a²/4 展开得 x² + y² = ay
用极坐标换元，
x = r(θ) cos(θ)
y = r(θ) sin(θ)
就得到ds = a dθ
代入圆周L中也得到：r(θ) = a sin(θ)
所以∫ y ds = ∫(0,π/2) [ r(θ)*sin(θ) ]*a dθ

在极坐标换元中，r一直都是θ的函数
例如在二重积分中也有∫∫ f(x,y) dxdy
= ∫(α,β) dθ ∫(r₁(θ),r₂(θ)) f(r(θ)cos(θ),r(θ)sin(θ))*r(θ) dr(θ)
内层对r的积分，由于自变量是关于r(θ)，所以可以直接对r进行积分

追问

我明白你的意思了，那为什么r=a*sin θ

追答

极坐标换元
把x = r cos(θ)，y = r sin(θ)
代入L的方程化简就是了，这个r = a*sin(θ)是那个圆周的极坐标方程