Question

在三角形中 已知面积S=a²-（b-c)² b+c=8 则面积最大为多少？

Answer 1

1.由于:S=a^2-(b-c)^2
则:
S=a^2-(b^2+c^2-2bc)
=-(b^2+c^2-a^2)+2bc

又由余弦定理,可得:
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
则:b^2+c^2-a^2=2bccosA
则:S=-2bc(cosA-1)
又:S=(1/2)bcsinA
则有:
(1/2)bcsinA=2bc(1-cosA)
sinA=4-4cosA
又:
(sinA)^2+(cosA)^2=1
则:sinA=8/17,cosA=15/17
或sinA=0,cosA=1(舍)

则:sinA=8/17
cosA=15/17

S三角形ABC
=(1/2)bcsinA
=(4/17)bc

由
(b-c)^2>=0
==>b^2+c^2-2bc>=0
==>b^2+c^2+2bc-4bc>=0
==>(b+c)^2>=4bc
==>bc<=(b+c)^2
==>bc<=8^2/4=16
则:
当bc=16时,
S三角形ABC取最大值=64/17
此时b=c=4

Answer 2

S=a^2-b^2-c^2+2bc=-2bccosA+2bc=2bc(1-cosA)
又S=0.5bcsinA
∴2(1-cosA)=0.5sinA
即2(1-cos^2(A/2)+sin^2(A/2))=0.5*2sin(A/2)cos(A/2)
4sin^2(A/2)=sin(A/2)cos(A/2)
tan(A/2)=1/4
sinA=2tan(A/2)/(1+tan^2(A/2))=1/2/(1+1/16)=8/17
(b+c)/2>=√bc
bc<=(b+c)^2/4=16
bc最大值为16当且仅当b=c=4
∴Smax=0.5bcsinA=0.5*16*8/17=64/17