Question

计算∫∫D√(x²+y²)dxdy,其中D为x²+

计算∫∫D√(x²+y²)dxdy,其中D为x²+计算∫∫D√(x²+y²)dxdy,其中D为x²+y²=2x与x轴围成的部分

Answer 1

使用极坐标来解，
令x=r *cosa，y=r *sina
D为x²+y²=2x与x轴围成

即r² < 2r *cosa，得到0<r< 2cosa
而a的范围是 -π/2到π/2
所以原积分=∫∫ r *r dr da
=∫ 1/3 *(2cosa)^3 da

=∫ 8/3 *(cosa)^2 d(sina)
=∫ 8/3 -8/3 *(sina)^2 d(sina)
= 8/3(sina) -8/9 *(sina)^3 代入sina的上下限1和 -1
=16/3 -16/9 =32/9