Question

设A为m*n矩阵，为什么n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n,不是r(A)<m

如题，谢谢！

Answer 1

举个例子，x+y+z=0对应矩阵A为1*3的，r(A)=1=m，但是显然这个方程有非零解。从理论上说，r(A)<n就意味着A的所有n阶子式都等于0，如果m≥n，由r(A)<n知r(A)<m，因此A的列向量线性相关，即方程组有非零解。如果m<n，由于此时n个m维向量一定线性相关，方程组仍然有非零解。但是r(A)<m不能保证这一点，因为当n<m时，n个m维向量是不一定线性相关的。