Black-Scholes期权定价模型的推导运用
B-S-M模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:
E[G]=E[max(ST-L，O)]
其中，E[G]—看涨期权到期期望值
ST—到期所交易金融资产的市场价值
L—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果ST>L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L
2、如果ST<L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:
max(ST-L，O)=0
从而：
E[CT]=P×(E[ST|ST>L)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)
其中：P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。
首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT
其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质：Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差。所以：P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围，所以，
E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)
其中：D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT
最后，将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2) 假设市场上某股票现价S为 164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:
①求D1:D1=[ln164/165+(0.052+0.0841/2)×0.0959]/√(0.0841×0.0959)=0.0327
②求D2:D2=0.0327-√(0.0841×0.0959)=-0.057
③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761
④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。 B-S-M模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:
S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T
移项得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，将B-S-M模型代入整理得:P=L·E-γT·[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看跌期权初始价格定价模型。
