Question

设函数f(x)在区间(0,+∞)上可导，且f'(x)>0,F(x)=∫xf(u)du(上下限为1,1/x)+∫f(u)/u^2du(上下限为1/x,1)

求函数的单调区间，凹凸区间，以及拐点
那个就是解答过程中1/x*f(1/x)-f(1/x)变成变积分的原理是怎么样的，同时写成同一个积分后怎么分析正负号的？

Answer 1

因为转化过后的式子是对u积分，而被积函数f(1/x)是关于x的函数，与u无关，所以可以看成是一个常数，所以∫(1到1/x) f(1/x)du=f(1/x)*u (u取1到1/x)=f(1/x)*(1/x-1)=1/x*f(1/x)-f(1/x)
下面说一下正负号分析，当0<x<1时，1/x>1,所以积分上界>积分下届，再看被积函数，u的取值范围为积分上下界，即(1,1/x)，因为f(x)的导数>0，所以f(u)<f(1/x)，所以f(1/x)-f(u)>0，所以F(x)的导数>0，当x>1时可以类推。
以上是我个人的想法，可能有不够严谨的地方，仅供参考。

Answer 2

答案如图所示：

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 3

简单分析一下即可，答案如图所示

Answer 4

发不了图，我是这么理解的:由于f(x)导数大于0，所以f(1/x)-f(u)在1~1/x积分过程中是f(1/x)-f(u)＞0,所以F(x)导数＞0,对应书上分情况讨论,
不知道这样可不可以

追问

不是，是两个相减，变成积分怎么变的，为什么可以变成积分

Answer 5

把f(1/x)看成常数，提取出来就懂了