Question

设无穷等差数列An的前n项和为Sn,若首项a1=3/2，公差d=1，求满足S（k的平方）=(Sk)的平方的正整数k

（2）求所有使得对一切正整数k都有S(k的平方）=（Sk）的平方的无穷等差数列An

Answer 1

k =4
An =n
解：由题意知无穷等差数列An的前n项和Sn＝1/2n²＋n ,若S（k的平方）=(Sk)的平方即
1/2k4＋k²=1/4k4＋k³＋k²
1/4k4=k³解之得的正整数为k =4 （2）欲求所有使得对一切正整数k都有S(k的平方）=（Sk）的平方的无穷等差数列An，需结合等差数列前n 项和公式，（系数高，不好打出来，说下过程思路吧）然后展开来，通过比较系数法（k的相同次幂的系数应相同，与a1 d 取值无关）比较后得d =0 ，a1 =1即
An =n

Answer 2

sk=a1k+k(k-1)d/2=3k/2+k(k-1)/2=k(k+2)/2
sk^2=k^2(k^2+2)/2=(sk)^2=k^2(k+2)^2/4
2(k^2+2)=k^2+4k+4
k^2=4k
k=4

sk=a1k+k(k-1)d/2=k[a1+d(k-1)/2]
sk^2=k^2[a1+d(k^2-1)/2]=(sk)^2=k^2[a1+d(k-1)/2]^2
a1+d(k^2-1)/2=a1^2+a1d(k-1)+d^2(k-1)^2/4
k=1
a1=a1^2, a1=0 or 1
k=2, 3d/2=a1d+d^2/4, d=0 or 6-4a1
a1=0, d=0 or 6
a1=1, d=0 or 2
d=0，为常数序列，a1=0,or 1 都满足。
d=2, a1=1, Sk=k^2, 也满足
d=6,a1=0, an=6(n-1), sn=3(n-1)n, sn^2=3n^2(n-1)^2, s(n^2)=3n^2(n^2-1),两者不等。
因此只有上面三种情况