Question

在证明不等式时不等号方向不一致该怎么办?就这个题最后是最大值还是最小值呢？

Answer 1

同向不等式才能传递，异向不等式不能.
本题解法很多，比如局部不等式法、切线函数法、Jensen不等式法等.

若a、b、c>0，且a+b+c=1，
则0≤a、b、c≤1/3.
构造函数f(x)=x/(x²+1) (0≤x≤1/3)，
则f′′(x)=2x(x²-3)/(x²+1)³，
当0≤x≤1/3时，f′′(x)<0.
故f(x)为上凸函数，其存在最大值!
故依Jensen不等式得
f(a)+f(b)+f(c)
≤3f[(a+b+c)/3]
=3f(1/3)
=3·(1/3)/[(1/3)²+1]
=9/10.
即a/(a²+1)+b/(b²+1)+c/(c²+1)≤9/10.
故所求最大值为: 9/10。

追问

a,b,c的范围应该在0到1间吧?

Answer 2

那就是转换还不够，这样不确定肯定不行啊

追问

那该怎么改进下?

追答

汗，看错了，这个最值就是9/10

追问

但是这个不等好玩方向不一致，怎么看是最大值还是最小值呢？

Answer 3

a，d，c为正整数不会有a+b+c=1