Question

设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e= 3/2 ,已知点P(0, 3/2 )到这个椭圆上

的点最远距离为根7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点p的距离为根7的点的坐标，不用参数法作，按正常方法

Answer 1

由e=c/a=√3/2得,c²=3a²/4
所以b²=a²-c²=a²/4
因此可设椭圆方程为x²/4b²+y²/b²=1,即x²+4y²=4b²
设椭圆上一点(x,y)到P的距离为d
则d²=x²+(y-3/2)²=4b²-4y²+y²-3y+9/4=-3(y+1/2)²+4b²+3, y∈[-b,b]
①若P在椭圆内,即b≥3/2.则d²(max)=4b²+3=7.即b=1(舍去)
②若1/2≤b<3/2.则d²(max)=4b²+3=7.即b=1
③若0<b<1/2.则d²(max)=-3(-b+1/2)²+4b²+3=7,解得:b=√7-3/2>1/2(舍去)
综上,b=1.所以椭圆方程为x²/4+y²=1
与P距离为√7的点的坐标为(±√3,-1/2)

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示