Question

请教一道高数的证明题

设b>a>e,证明(a^b)>(b^a)

Answer 1

要证b^a>a^b
只需证明ln(b^a)>ln(a^b)
即：alnb>blna
又：a>b>e
则：lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当lnx>1即x>e时，f'(x)<0为减函数
故a>b>e时，f(a)<f(b)
即lnb/b>lna/a
故原命题得证

Answer 2

原式两边取对数
(a^b)>(b^a)
转换为
bLna>aLnb
就是要证
(Lna)/a>(Lnb)/b
可以知道当x>e时
y=(Lnx)/x是减函数
求导可以证明
所以当b>a时
bLna>aLnb

注 Ln是自然对数符号

Answer 3

blna/alnb>1
也就是证lna/a>lnb/b
y=lnx/x
y'=1/x^2-lnx/x^2
在区间（e，+∞） y'<0
y=lnx/x单调递减
又b>a>e
所以lna/a>lnb/b
blna>alnb
e^(blna)>e^(alnb)
∴(a^b)>(b^a)