Question

已知数列{An}的前n项和Sn=10n–n²（n∈N*） （1）求数列 {An}的通项公式; （2

已知数列{An}的前n项和Sn=10n–n²（n∈N*） （1）求数列 {An}的通项公式; （2）求Sn的最大值; （3）设Bn=|An|,求数列{Bn}的前10项和T10。

Answer 1

解：1、
当n≥2时，有an=Sn-S(n-1)=(10n–n²)-[10(n-1)–(n-1)²]=11-2n
当n=1时，a1=S1=10–1²=9适舍an=11-2n
所以数列{an}的通项公式是an=11-2n (n∈N*）
2、有2种解法
解法一、
要使Sn取最大值，只要an>0且a(n+1)≤0即可
即11-2n>0且11-2(n+1)≤0
解得9/2≤n<11/2
由于n是正整数，所以n=5
解法二、
困为Sn=10n-n²=-(n-5)²+25
所以当n=5时，Sn取最大值为25
3、介绍一种常规解法
因为|an|=|11-2n|
当n≤5时，an=11-2n>0
当n≥6时，an=11-2n<0
于是Tn=B1+B2+......Bn
=|a1|+|a2|+......+|a5|+|a6|+|a7|+.......+|an|
=a1+a2+.....+a5-a6-a7-.......-an
=2(a1+a2+......a5)-(a1+a2+....a5+a6+a7+.....an)
=2(9+7+5+3+1)-Sn
=50-(10n-n²)=n²-10n+50
于是Tn=n²-10n+50
所以当n=10时，T10=10²-10*10+50=50