Question

已知函数f(x)=(x^2+ax+a)e^(-x）（a为常数，e为自然对数的底）。 （1）若函数f

已知函数f(x)=(x^2+ax+a)e^(-x）（a为常数，e为自然对数的底）。 （1）若函数f(x)在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围； （2）在（1）的条件下，设由f(x)的极大值构成的函数为g(a)，试判断曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切，并说明理由

Answer 1

f(x)=(x^2+ax+a)e^(-x）（a为常数，e为自然对数的底）
(1)f'(x)=[2x+a-(x^2+ax+a)]e^(-x)=x(2-a-x)e^(-x),
a=2时f'(x)=-x^2*e^(-x)<=0,
f(x)在x=0时不取极小值,
a>2时x>0,f'(x)<0,f(x)在x=0时不取极小值,
a<2时0<x<2-a，f'(x)>0,其他，f'(x)<=0,f(x)在x=0时取极小值.
综上，a的取值范围是(-∞，2).
(2)g(a)=f(2-a)=[(2-a)^2+a(2-a)+a]e^(a-2)
=[4-4a+a^2+2a-a^2+a]e^(a-2)
=(4-a)e^(a-2),
g'(a)=(3-a)e^(a-2),
g''(a)=(2-a)e^(a-2),a<2时g''(a)>0;a>2时g''(a)<0,
∴g'(a)<=g'(2)=1,
直线3x-2y+n=0的斜率=3/2>1,直线2x-3y+m=0的斜率=2/3<1,
∴曲线y=g(x)不可能与直线3x-2y+n=0，只可能与直线2x-3y+m=0相切.