Question

计算曲线积分I=∫(-x^2y)dy+xy^2dy,其中L是区域D={(x,y)|x^2+y^2<=2y}的正向边界曲线

要详细过程啊 谢谢

Answer 1

解：令Q=-x^2y，P=xy^2
则αQ/αx=-2xy，αP/αy=2xy
于是，由格林定理，得
曲线积分I=∫∫<D>(αQ/αx-αP/αy)dxdy
=(-4)∫∫<D>xydxdy
=(-4)∫<-1,1>xdx∫<1-√(1-x^2),1+√(1-x^2)>ydy
=(-2)∫<-1,1>x[(1+√(1-x^2))^2-(1-√(1-x^2))^2]dx
∵x[(1+√(1-x^2))^2-(1-√(1-x^2))^2]是奇函数
积分区间是<-1,1>的对称区间
∴∫<-1,1>x[(1+√(1-x^2))^2-(1-√(1-x^2))^2]dx=0
故曲线积分I=(-2)*0=0。