Question

证明函数在某点的可导性一定要用定义证吗?能不能用求导公式，左右导

证明函数在某点的可导性一定要用定义证吗?能不能用求导公式，左右导数相等来证明可导，这样的话需不需要先证连续性?可是这样不就是默认函数在这点可以求导了吗?

Answer 1

如果要证明可导性，则题目蕴含不可用求导公式。应该先证连续性。但连续不一定可导，所以还要再证可导性。连续性有时可以利用初等函数的性质证明。用左右导数的证明可导的方法在题目给出的函数是分段函数时常用。

Answer 2

如果用左右函数表达式来求导数的话，就必须先证明函数是可导的，然后才能用左右函数表达式来求左右导数。
因为不用定义式，而是直接用左右函数表达式来做，本身就需要一个前提，函数连续，没这个前提，用左右函数表达式来做左右导数就会出错，会把本来不可导的间断点，也算成可导的。
而如果是用导数的定义公式来做的话，那么就可以不用先证明连续了，因为定义公式中，已经隐含了函数连续的要求。所以不连续的函数，用定义公式算，是算不出导数的。

追问

那先证其连续性，再用求导公式求左右函数相等行不行？

追答

这当然可以。
我的意思是说，如果直接用函数式算导数，例如用（2x）'=2；（3x²）'=6x这类方法算导数，那么就必须先证明连续。因为（2x）'=2；（3x²）'=6x这些式子成立的前提是函数连续，如果函数不连续，那么直接这么算就会出错。
而定义公式本身已经隐含了连续的要求，所以不连续的函数用定义公式算，就会得到极限无穷大的结果来，所以就会得到不可导的正确结论。可以不先证明连续。但是如果你先去证明了连续，虽然本无必要，但也不是错误，所以仍然可以先证明连续，然后再用定义公式证明可导。