Question

求详细的过程

求详细的过程∫1/√x+∛xdx
∫1/x√1+x²dx
∫√x²-9/xdx
∫1/x(x²+1)dx
∫1/x²+4x+5dx

求详细的过程

Answer 1

1.
令x=tanu，则u=arctanx
∫1/[x√(1+x²)]dx
=∫1/[tanu·√(1+tan²u)]d(tanu)
=∫sec²u/(tanu·secu)du
=∫(1/sinu)du
=∫[(sin²u+cos²u)/sinu]du
=∫(sinu +cotu·cscu)du
=-cosu-cscu +C
=-cos(arctanx)- csc(arctanx) +C
=-1/√(x²+1) -1/x +C
2.
令x=3sect，则t=arcsec(x/3)
∫√(x²-9)/x dx
=∫√[(3sect)²-9)/(3sect)d(3sect)
=∫(sec²t -1)dt
=tant -t +C
=tan[arcsec(x/3)] -arcsec(x/3) +C
=x/3- arcsec(x/3) +C
3.
∫1/[x(x²+1)]dx
=∫[1/x -x/(x²+1)]dx
=∫(1/x)dx -½∫[2x/(x²+1)]dx
=ln|x|-½ln|x²+1| +C
=½ln[x²/(x²+1)] +C
4.
∫1/(x²+4x+5) dx
=∫1/[1+(x+2)²]d(x+2)
=arctan(x+2) +C

追问

第一道式子同时除sinu得的cotu+cscu不太对吧

追答

我步骤中没有你问的这个。
哪一步，截图给我看。

追问

画的部分

是怎么变得

不是同时除sinu么

追答

嗯，确实有问题。重新写一下：
1.
令x=tanu，则u=arctanx
∫1/[x√(1+x²)]dx
=∫1/[tanu·√(1+tan²u)]d(tanu)
=∫sec²u/(tanu·secu)du
=∫(1/sinu)du
=∫[sin²(u/2)+cos²(u/2)][2sin(u/2)cos(u/2)]du
=½∫[sin(u/2)/cos(u/2) +cos(u/2)/sin(u/2)]du
=∫[sin(u/2)/cos(u/2)d(u/2)+∫cos(u/2)/sin(u/2)]d(u/2)
=ln|cos(u/2)|+ln|sin(u/2)| +C
=ln(|sinu|/2) +C
=ln|sinu| -ln2 +C
=ln|x/√(x²+1)| -ln2 +C

Answer 2

好难