Question

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求极限lim(x→0)[cosx-e^(-x^2/2)]/{x^2[x+ln(1

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求极限lim(x→0)[cosx-e^(-x^2/2)]/{x^2[x+ln(1-x)]}
问题补充：

拍照搜题秒出答案，下载作业帮立即下载
满意回答
x->0时, cosx=1-x²/2!+x^4/24+o(x^4), e^{-x²/2}=1-x²/2+(-x²/2)²/2!+o(x^4)=1-x²/2+x²/8+o(x^4)
所以cosx-e^{-x²/2}=-x^4/12+o(x^4)~-x^4/12
ln(1-x)=-x+x²/2+o(x²), 所以x²[x+ln(1-x)]=x²[x²/2+o(x²)]~x^4/2
原式=lim{x->0}[-x^4/12]/[x^4/2]=-1/6
那个o(x∧4)怎么看出来的

Answer 1

x->0时,cosx=1-x²/2!+x^4/24+o(x^4),e^{-x²/2}=1-x²/2+(-x²/2)²/2!+o(x^4)=1-x²/2+x²/8+o(x^4)
所以cosx-e^{-x²/2}=-x^4/12+o(x^4)~-x^4/12
ln(1-x)=-x+x²/2+o(x²),所以x²[x+ln(1-x)]=x²[x²/2+o(x²)]~x^4/2
原式=lim{x->0}[-x^4/12]/[x^4/2]=-1/6