大学数学分析题目
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利用极坐标变换
原式=∫(0,2π)dθ∫(0,1)r√[(1+r^2)/(1-r^2)]dr
=π*∫(0,1)-√[(1+r^2)/(1-r^2)]d(1-r^2)
=-π*∫(0,1)√[2/(1-r^2)-1]d(1-r^2)
=π*∫(0,1)√(2/t-1)dt
令u=√(2/t-1)，则t=2/(u^2+1)，dt=-4u/(u^2+1)^2du
原式=4π*∫(1,+∞)u^2/(u^2+1)^2du
令u=tanv，则du=sec^2vdv
原式=4π*∫(π/4,π/2)tan^2v/sec^2vdv
=2π*∫(π/4,π/2)(1-cos2v)dv
=π*(2v-sin2v)|(π/4,π/2)
=π*(π-π/2+1)
=π+(π^2)/2
原式=∫(0,2π)dθ∫(0,1)r√[(1+r^2)/(1-r^2)]dr
=π*∫(0,1)-√[(1+r^2)/(1-r^2)]d(1-r^2)
=-π*∫(0,1)√[2/(1-r^2)-1]d(1-r^2)
=π*∫(0,1)√(2/t-1)dt
令u=√(2/t-1)，则t=2/(u^2+1)，dt=-4u/(u^2+1)^2du
原式=4π*∫(1,+∞)u^2/(u^2+1)^2du
令u=tanv，则du=sec^2vdv
原式=4π*∫(π/4,π/2)tan^2v/sec^2vdv
=2π*∫(π/4,π/2)(1-cos2v)dv
=π*(2v-sin2v)|(π/4,π/2)
=π*(π-π/2+1)
=π+(π^2)/2
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