Question

设实数a不等于0且函数f(x)=a(x^2+1)-(2x+1/a)有最小值—1

已解出来a=1。下面求：
设数列｛an}的前n项和Sn=f(n),令bn=(a2+a4+…a2n)/n,n=1,2,3,……，证明数列｛bn}是等差数列 。

Answer 1

f(x)=a(x^2+1)-(2x+1/a),a=1
f(x)=x^2+1-2x+1=x^2-2x
Sn=f(n)=n^2-2n
S(n-1)=(n-1)^2-2(n-1)=n^2-4n+3
an=Sn-S(n-1)=n^2-2n-(n^2-4n+3)=2n-3
数列｛an}是以-1为首项，公差为2的等差数列
a1=-1,a2=1
那么a2,a4,a6....a2n就是以1为首项，公差为4的等差数列
bn=(a2+a4+…a2n)/n=[n+n(n-1)*4/2]/n=2n-1
所以数列｛bn}是等差数列，其首项为1，公差为2。
证毕。