Question

一道高一的数学向量题

如图 在△ABC中，G是BC的中点，E是AG的中点，CE的延长线交AB于点D，求EC/DE
请用向量的思想来解，谢谢。

Answer 1

行文过程，均省略向量记号
设EG=a,GB=b
则：EG+GC=EC,即EC=a+b, *
BC=2b, *
AG=2a,
求得：AG+GC=AC,
即 AC=2a+b. *
又：AB=AC+CB=(2a+b)+(-2b)=2a-b. *
DC=DA+AC=k*AB+AC
这是因为AD平行于AB,故存在实数k, 使DA=k*AB,其中k待定。
于是：DC=k*(2a-b)+(2a+b)
=(2k+2)a+(-k+1)b,
又，DC平行于EC=a+b,
故：它们对应于向量a,b的系数成比例。故有
(2k+2)/1 = (-k+1)/1
即：2k+2=-k+1,
求得：k=-1/3 (得负数，因为DA与AB反向）

由此得:DC=(4/3)*a+(4/3)*b=(4/3)*(a+b)
=(4/3)*EC
故知线段EC,DE 之比EC/DE＝3/1=3.

Answer 2

（向量符号不出现，见谅）以CA,CB为基底，设CE=μED.AD=βAB.CE=(CA+CG)/2=CA/2+CB/4.CE=μCD/(μ+1)=μ(CA+AD)/(μ+1)=μ(CA+βAB)/（μ+1）=μ[CA＋β(CB－CA)]／（μ＋1）=βμCB／（μ＋1）＋（μ－βμ）CA／（μ＋1）,由平面向量基本定理，（μ－βμ）／（μ＋1）=1/2,βμ／（μ＋1）=1/4.联立解得μ=3.即EC/DE =3.