Question

求问个数学归纳法题目

假设有正整数 X Y.
1:证明7X+10Y无论XY如何取值，恒不等于53.
2：用数学归纳法证明存在正整数xy 使得7X+10Y=n n>=54且为正整数 (题目的意思是 7X+10Y=54 =55 =56 =57 =... =n全成立）

Answer 1

1. 7x+10y的个位跟7y的个位相同.
当x的个位是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9时, 7x的个位依次是0,7,4,1,8,5,2,9,6,3, 刚好历遍全部10个数字.
若7x+10y=53, 则7x的个位是3. 由上面的列举可见, x的个位一定是9.
因x是正整数, 所以x>=9. 所以7x+10y>=63, 矛盾. 第一问得证.

2. 题目有误, 因为当n=56,60,63时不存在满足要求的正整数x,y. 正确的陈述应该是非负整数.
设7x+10y=n. 我们对n进行归纳证明.
当n=54时, 有正整数解(x,y)=(2,4);
当n=55时, 有正整数解(x,y)=(5,2);
当n=56时, 有正整数解(x,y)=(8,0);
当n=57时, 有正整数解(x,y)=(1,5);
当n=58时, 有正整数解(x,y)=(4,3);
当n=59时, 有正整数解(x,y)=(7,1);
当n=60时, 有正整数解(x,y)=(0,6);
当n=61时, 有正整数解(x,y)=(3,4);
当n=62时, 有正整数解(x,y)=(6,2);
当n=63时, 有正整数解(x,y)=(9,0).
因此我们可以假设命题对54,55,56,...,n-1都成立, 其中n>=64.
因54<=n-10<n-1, 按归纳假设, 存在非负整数a,b使得n-10=7a+10b.
所以7x+10y=n有非负整数解(a, b+1).
这就证明了命题对n成立. 依归纳法, 命题得证.

Answer 2

我来答吧,我先把第一题答了可以不?
1,证明:
因为 7 的自然数倍数的个位为 7 4 1 8 5 2 9 6 3 0,而个位为 3 时是7 * 9.
又因为 x,y >0,且为整数.所以,当 x=9时,7x+10y>=63.即不可能找到 x,y使得 7x+10y=53 等式成立.
证完.
我来接着答了,我想说,第二题我认为命题是错误的,我来证明他是错的.
2,命题不成立,
证明:
假设命题成立,用数学归纳法证明:
当 n=54 时,
有 x(1)=2,y(1)=4 满足;

设 n=k 时成立,
即 7*x(k)+10*y(k)=k;

当 n=k+1 时,
7*x(n)+10*y(n)=n=k+1
<=> 7*x(n)+10*y(n)=7*x(k)+10*y(k)+1
<=> 7*(x(n)-x(k))+10*(y(n)-y(k))=1
解得:
x(n)=x(k)+3
y(n)=y(k)-2

即 Y 随着 n 的增大而减小.因为 n=54 时,y=4,所以,当 n=56 时, y=0,x=8.与题目条件要求 x,y均为正整数矛盾.
即证命题不成立.
实际上,我们通过如下列举就可得出命题不成立,即使规定 x,y 为自然数也是如此:
n=55
x=5,y=2

n=56
x=8,y=0

n=57
x=1,y=5

n=58
x=4,y=3

n=59
x=7,y=1

n=60
x=10,y=-1

PS:那些自认为很厉害证明了的人都什么心态,难道自己大意证明错了被别人点"不给力",就要报复所有答题的人,把其余人都点不给力吗?真是太不给力了!

追问

当N=60的时候 可以y=6 x=0 6*10+0*7=60 所以成立啊。。
而且这个题目是让证明成立的

追答

是的是的,你的问题的回答者中已经有很好的回答了,是这个人 pkuwgl 写的,我点了"给力"了的.
我想你可能只知道
先确认 n = 1 时成立,然后假设 n=k 成立, 然后证明 n=k+1成立.
这样的数学归纳法.

其实数学归纳法还有好多变种, pkuwgl 写的就是其中一种变种,也就是
先确认 n=1, n=2, n=3,...,n=m,成立,然后假设 n=k 成立,然后证明 n=k+1 成立.
其实这种数学归纳法通常是因为 n=1 这样的首个成立无法满足 后面的证明需要,因为有可能 n=1只能证明 n=2k+1(也就是奇数),n=2只能证明 n=2k(也就是偶数),如果只单独确认一个,后面的证明 n=k+1 是无法完成的.所以就演变出这种实现确认前面很多个成立的,然后再去假设,再去证明.

这样你知道该怎么做了吧!

Answer 3

1、XY全部为正整数
令7X+10Y=53
由于10Y的末位只能是0
所以7X的末尾必须为3，可知X的末尾必须为9才行，取X最小值9，这时7X=63不成立
所以7X+10Y=53不成立
2、证明：
第一步：7X+10Y=54，X=2、Y=4成立
第二步：假设7X1+10Y1=n1成立
则 7X2+10Y2=n1+1 （3）
两个式子相减可得：
7（X2-X1）+10（Y2-Y1）=1
可知当X2-X1=3
Y2-Y1=-2时式子（3）即可成立
得证

对了请采纳！

Answer 4

1. Y取任意值后乘以10均为10的整数倍，要使得和末位为3只有7X末位为3，7只有与9相乘末位为3，即X为末位为9的正整数，而7*9=63>53，且10Y>0，所以使得末位为3的7X+10Y≥63+10=73，恒不等于53

2. 不太看得懂，若取n=56，则只有X=8，Y=0才能满足条件，但Y为正整数，所以不成立。

追问

XY可以为0..

Answer 5

假设有正整数 X Y.
1:证明7X+10Y无论XY如何取值，恒不等于53.
2：用数学归纳法证明存在正整数xy 使得7X+10Y=n n>=54且为正整数 (题目的意思是 7X+10Y=54 =55 =56 =57 =... =n全成立）