Question

几道数学题的具体解答过程。

1）.方程x²-px+q=0的两根为α，β。求作以1/α，1/β为两根的一元二次方程。 （答案：qx²-px+1=0）
2）方程x²+px+q=0和方程x²+qx+p=0 两根之差相等。求p+q的值。 （-4）
3）当m为何值时，一元二次方程mx²-2(m+1)x+m-1=0 的两根为正数？ （ m＞1）
4）当k为何值，（k-1）x²-4x+5=0有一个正根 一个负根，这时哪个根的绝对值大？ （k＜1 ，负根）
5）已知：k²x²+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2。求k的范围& 当k为何值，x1和x2互为倒数。 （k＜1/4 且k≠0 & k1=1（舍去）k2=-1）
6）直角三角形三边为 a b c 。角B=90°，判断a(x²-1)+2cx+b(x²+1)=0的根的情况。
7）α和β是x²-mx+m+5=0的两根。α和γ是x²-(8m+1)x+22m+8=0的两根。 求α²βγ的值。 （1944）
8）2x²+mx-3=0和3x²+2mx+3=0有一个公共根。求m及公共根。 （x=-3时，m=5 x=3时，m=-5）
9）解方程：x²-a（3x-2a+b)-b²=0 ( x1=2a+b x2=a-b )

括号里是答案，我要解答过程。 能做几道做几道，前面标上你做的题号，谢谢了。

Answer 1

1）α+β＝-p α*β=q
则1/α+1/β=(α+β)/ α*β=-p/q
1/α*1/β=1/α*β=1/q
该方程为x²-（ p/q ）x+1/q=0
两边同时乘以q,变成qx²-px+1=0
2）由方程x²+px+q=0 得x1+x2＝p x1*x2=q
则(x1-x2)* (x1-x2)= (x1+x2)^2-4 x1*x2=p*p-4q (1)
由方程x²+qx+p=0得x3+x4=q x3*x4=p
则(x3-x4)* (x3-x4)= (x3+x4)^2-4 x3*x4=q*q-4p (2)
(1)=(2) 则p*p-4q＝q*q-4p
p*p- q*q＝-4p+4q
(p-q) (p+q)=-4(p-q)
则(p+q)=-4
3) 方程mx²-2(m+1)x+m-1=0变形为x²-[2(m+1)/m]x+(m-1)/m=0
x1+x2＝-[2(m+1)/m]>0 (1)
x1*x2=(m-1)/m>0 (2)
讨论，当m>0时 (1)为-2(m+1)>0 m值小于0 ，不成立
(2)为m-1>0 得m>1
当m<0时 (1)为-2(m+1)<0 m值大于0 ，不成立
(2)为m-1<0 得m<1 也不成立
m 不可以等于0 因为m=0时方程就不是一元二次方程了
4）（k-1）x²-4x+5=0变形为x²-4/（k-1）x+5/（k-1）=0
x1*x2=5/（k-1）<0 得k〈1
而x1+x2=-4/（k-1）的值一定是大于0的故而正根的绝对值要大
（这与结果有出入）
5) x1和x2互为倒数,则x1*x2=1/k²=1即k=1或-1
而Δ不等于0，故k1=1（舍去）取k2=-1
6) 由题知a²+ c²= b²
a(x²-1)+2cx+b(x²+1)=0变形为（a+b）x²+2cx+(b-a)=0
x1+x2= 2c/（a+b）
x1*x2=(b-a)/ （a+b）
(x1-x2)* (x1-x2)= (x1+x2)^2-4 x1*x2=(4 a²+ 4c²-4b²)/( a+b)²＝0
故x1＝x2＝c/（a+b）
7）由x²-mx+m+5=0知α+β＝-m α*β=m+5
x²-(8m+1)x+22m+8=0 α+γ=-(8m+1) α*γ=22m+8
α²βγ=αβ*αγ= (m+5) (22m+8)
由求根公式得α，β＝ [-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a＝[m±(m^2-4(m+5))^(1/2)]/2
α，γ=[(8m+1)±((8m+1)^2-4(22m+8))^(1/2)]/2
联立求解得，m=
8）同上方法一样
9）由求根公式求得