一道关于三角函数的数学题
在三角形ABC中,已知sinA/sinB=根2/1,c的平方=b的平方+根2*b*c,则三内角ABC的度数依次是?请说明详细过程,谢谢~~...
在三角形ABC中,已知sinA/sinB=根2/1,c的平方=b的平方+根2*b*c,则三内角ABC的度数依次是?
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由正弦定理可知:a/b=sinA/sinB=√2,所以a=√2b,于是a^2=2b^2
又已知c^2=b^2+√2bc,所以b^2+c^2-a^2=b^2+(b^2+√2bc)-2b^2=√2bc
由余弦定理可知:cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=√2bc/2bc=√2/2
因为A为△ABC的内角,所以0<A<180度。
因此由cosA=√2/2,可知A=45度,于是sinA=√2/2
因为sinA/sinB=√2,所以sinB=sinA/√2=1/2,
另一方面,由于a=√2b,可知b<a,因此B<A,而A=45度,所以B只能是锐角。
此时,由sinB=1/2,可知,B=30度。
于是C=180度-A-B=105度。
故:△ABC的三个内角的度数依次为:A=45度,B=30度,C=105度。
又已知c^2=b^2+√2bc,所以b^2+c^2-a^2=b^2+(b^2+√2bc)-2b^2=√2bc
由余弦定理可知:cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=√2bc/2bc=√2/2
因为A为△ABC的内角,所以0<A<180度。
因此由cosA=√2/2,可知A=45度,于是sinA=√2/2
因为sinA/sinB=√2,所以sinB=sinA/√2=1/2,
另一方面,由于a=√2b,可知b<a,因此B<A,而A=45度,所以B只能是锐角。
此时,由sinB=1/2,可知,B=30度。
于是C=180度-A-B=105度。
故:△ABC的三个内角的度数依次为:A=45度,B=30度,C=105度。
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