Question

问一道题:求证:当自然数n≥5时,有2^n>n²

都证得很好

Answer 1

可以用数学归纳法做：
当n＝5时，不等式显然成立。
设k＞5,且k为自然数。当n＝k时，假设成立，即2^k＞k²，
那么当n＝k＋1时，
左边＝2^（k＋1）＝2×2^k＞2k²＝k²＋（k²－1）＋1
考虑到在k＞5时，2＜k－1，k＜k＋1，所以2k＜（k－1）（k＋1）
右边＝（k＋1）²＝k²＋2k＋1＜k²＋（k－1）（k＋1）＋1＝k²＋（k²－1）＋1
所以左边＞右边。
即当n＝k＋1时不等式也成立。
综上所述，原命题成立。

也可以通过图像解释这个命题。
在同一直角坐标系内画出函数y＝2^x和y＝x²在x≥5时的图像，一看便知。

Answer 2

用数学归纳法：
(1)当n=5时，2^5>5^2，不等式成立
(2)假设当n=k(k≥5)时，命题成立，即2^k>k^2，
当n=k+1时，
2^(k+1)=2^k+2^k>k^2+k*k=k^2+k*(k-1)+k>k^2+2k+1=(k+1)^2
所以 当n=k+1时，命题成立，原题得证