Question

已知a,b是正实数，比较（a）^a（b）^b与(ab)^(a+b/2)的大小

有没有比现在能搜索到的“求商比较法”更让人明白的

Answer 1

解：
对数法或许简单点。比较（a）^a（b）^b与(ab)^(a+b/2)的大小，转化为
lg(a^a×b^b)与lg(ab)^(a/2+b/2)的大小。

lg(a^a×b^b) = alga + blgb
lg(ab)^(a/2+b/2) = (a+b)/2 lga + (a+b)/2 lgb
lg(a^a×b^b) - lg(ab)^(a/2+b/2)
= alga + blgb - (a+b)/2 lga -(a+b)/2 lgb
= (a-b)/2 lga - (a-b)/2 lgb
= (a-b)/2 × (lga-lgb)

∵ 若a＜b,则 lga＜lgb;若a≥b,则 lga≥lgb
∴ 结果总是非负的，即 （a）^a（b）^b ≥ (ab)^(a+b/2)