Question

证明：A、B是两个同阶上三角形矩阵，则A^{T}B^{T}是下三角形矩阵

Answer 1

S^-1AS=C=diag(a1*I1,a2*I2,...,ar*Ir)
分为r块，每块特征值相同,Ii都是单位阵
SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1，右乘S，得
CS^-1BS=S^-1BSC，记G=S^-1BS，那么CG=GC
因为C是对角阵，而G与C可交换，易知
G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵，Gi与Ii同阶
再将Gi进行对角化，即存在可逆阵Ti，
使得Ti^-1*Gi*Ti=Di是对角阵
记T=diag(T1,T2,...,Tr)是块对角可逆阵
于是T^-1GT=diag(D1,D2,...,Dr)=D是对角阵
即T^-1S^-1BST=D
而T^-1S^-1AST=T^-1CT
因为C是对角阵，T是与C形状相同的块对角阵，因此CT=TC
于是T^-1S^-1AST=T^-1CT=T^-1TC=C
记P=ST是可逆阵
便有P^-1AP=C，P^-1BP=D 同时化为了对角阵