Question

高中数学 数列 求极限

已知cn=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2...+b^n（n∈N*,a>0,b>0）
求lim(cn/c(n-1))
答案：a=b,lim=a.
a>b>0,lim=a.
b>a>0,lim=b

Answer 1

a=b时，cn=na^n ,lim(cn/c(n-1)) =lim(na^n/(n-1)a^(n-1))=lim((n/n-1)a)=a

因为 a^(n+1)-b^(n+1)=(a-b)(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2...+b^n)
所以 cn=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
lim(cn/c(n-1)) =[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a^n-b^n)
当a>b>0时
lim(cn/c(n-1))=[a-b(b/a)^n]/[1-(b/a)^n]
当n趋于无穷时(b/a)^n=0
所以lim(cn/c(n-1))=[a-b(b/a)^n]/[1-(b/a)^n]=a
同理可得b>a>0,lim=b