Question

快请帮我看看一道数列的数学题……

已知数列{an}是首项为100，公比为1/10的等比数列，数列{bn}满足bk=1/k(lga1+lga2+…+lgak)(k∈N＊)
求数列{bn}的前n项和的最大值

Answer 1

an=100*(1/10)^(n-1)=10^(3-n)
bk=(1/k)·(lga1+lga2+……lgak)=(1/k)·(2+1+0+……+(3-k))=(5-k)/2
故bn=2.5-0.5n,b1=2
{bn}为等差数列，公差d=-0.5,为递减数列
令bn=0,n=5；当n>5时，bn<0
故S4＝S5最大
S4=S5＝(b1+b5)*5/2=5

Answer 2

a1=100，q=0.1，an=a1*q^（n-1），
故an=10^2*(1/10)^(n-1)=10^（3-n）。

所以：lgan=3-n，bk=1/k（lga1+lga2+……lgak）=1/k（3-1+3-2……3-k）=（5-k）/2；
bn=(5-n)/2,b1=2
数列{bn}的前n项和Sn=(2+(5-n)/2)n/2=(9-n)n/4=1/4(-n^2+9n)=-1/4[-(n-9/2)^2+81/4]
所以,当n=4或5时,和有最大值是 (9-4)*4/4=5

Answer 3

bk=1/klg(a1*a2*a3...ak)
=1/klg(100^k*(1/10)^k(k-1)/2)
=lg(10^(3k-k^2))^(1/k)
=3-k
所以 sum=3n-（1+2+3+4+....n）
=(5n-n^2)/2