Question

矩阵A+B的行列式与矩阵B+A的行列式的值是否相等

Answer 1

相等。

首先，矩阵要对应行列式，这说明A+B是个方阵。

那么A和B也必须是方阵。

然后根据矩阵加法的性质，矩阵的加法是有交换律的，矩阵的乘法才没有交换律。

所以A+B=B+A。

既然A+B和B+A相等，那么他们对应的行列式当然也就相等了。

设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1。

扩展资料：

设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A) 。

证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)，

由于Mij均为k×k矩阵，由归纳假设有此式右端恰是det(AT)按照AT的第一列的余子式展开。因此

若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

参考资料来源：百度百科——矩阵行列式

Answer 2

首先，矩阵要对应行列式，这说明A+B是个方阵。
那么A和B也必须是方阵。
然后根据矩阵加法的性质，矩阵的加法是有交换律的，矩阵的乘法才没有交换律。
所以A+B=B+A
既然A+B和B+A相等，那么他们对应的行列式当然也就相等了。

追问

请问这个题为什么B加A的逆的行列式不等于A的逆加B行列式？？是答案错了吗？

追答

这个解法，画红框的地方有错，应该还是2，而不是1/2，又是个误人子弟的参考书吧。

追问

班级里订的习题册

Answer 3

定理5.2 设AB均为n阶方阵,则A与B的乘积矩阵的行列式等于A的行列式与 B的行列式的乘积
正确,但ab为n阶矩阵
a+b的行列式等于a的行列式加上b的行列式吗
这个是不成立的