Question

关于求0～2π上求根号(1+sinx)乘以sinx的定积分计算

关于求0～2π上求根号(1+sinx)乘以sinx的定积分计算关于铅笔画线的地方，为什么只改变了积分的上下限，却没有改变被积函数和积分变量？

Answer 1

当x∈[0，3π/2]时sin(x/2)+cos(x/2)=(√2)cos(×/2-π/4)≥0；

当x∈[3π/2，2π]时sin(x/2)+cos(x/2)=cos(×/2-π/4)≦0;

【再往后就是普通积分了，无需再作解释】

Answer 2

它使用的是等价变换，不是换元！！
函数为奇函数，0到2pi等价于-0.5pi到1.5pi

追问

怎么个等价变换法呢，能具体解释一下吗

追答

函数的周期为2pi，积分区间可以任意改变，只有上限-下限为2pi即可。-pi/2到3/2pi区间也是2pi！

Answer 3

∫<0,π>√(1-sinx)dx
=∫<0,π>√(1-2sinx/2cosx/2)dx
=∫<0,π>√(sinx/2-cosx/2)²dx
=∫<0,π>|sinx/2-cosx/2|dx
=2·2∫<0,π/2>(cosx/2-sinx/2)d(x/2)
=4(sinx/2+cosx/2)|<0,π/2>
=4(√2-1)