Question

⊿ABC中，以AB、AC为边分别向形外作等边⊿ABD与等边⊿ACE，

M为AD中点，N为AE中点，P为BC中点，Q为MN中点，求证PQ⊥MN

Answer 1

只需证明PN=PM
取AB中点F，AC中点G
可以证明三角形FMP≌△GPN(边角边证明，FM=0.5BD=0.5AB=PG，∠MFP=60+∠AFP，∠NGP=60+∠AGP，∠AFP与∠AGP显然相等
则有PN=PM

Answer 2

作PF⊥BC交MN于F，连BM、CN
因为BP=PC
所以角BFP=角CFP
因为AM=DM
所以BM⊥AD又PF⊥BP
所以角AMB+角APB=180°
所以A、M、B、P四点共圆
所以角BMP＝角BFP
同理角PFC＝角PNC
又角BFP=角CFP
所以角BMP＝角PNC
又角AMB＝角ANC＝90°
所以角PMN＝角PNM
又Q为MN中点，所以PQ⊥MN