Question

已知函数f(x)=loga1-mx/x-1(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数.

1）求m的值 （2）判断函数f(x)在（1，+∞）上的单调性，并证明
（3）当x∈(n,a-2)时，函数f(x)的值域（1，+∞）。求实数a与n的值。
第2问与第3问不懂啊..求详细解答谢谢了...
a＞1

Answer 1

1）、f（x）=loga 〔（1-mx）/（x-1）〕是奇函数

则f（x）=-f（-x）

则（1-mx）/（x-1）=（-x-1）/（1+mx）

1-m^2x^2=-x^2+1

得，m^2=1

因为m≠1，

所以m=-1

2）、f（x）=loga 〔（1+x）/（x-1）〕=loga[1+2/(x-1)]

令x1>x2>1

f（x1）-f（x2）=loga[1+2/(x1-1)]-loga[1+2/(x2-1)]

=loga{〔[1+2/(x1-1)]/[1+2/(x2-1)]}

因为x1>x2>1，所以x1-1>x2-1>0,所以1+2/(x1-1)<1+2/(x2-1)

所以〔[1+2/(x1-1)]/[1+2/(x2-1)]<1

所以当a>1时，f（x1）-f（x2）<0,则在（1，+∞）上的单调递减的。

当0<a<1时，f（x1）-f（x2）>0,则在（1，+∞）上的单调递增的。

3）、函数f（x）的值域为（1，+∞），

当a>1时，f（x）在（1，+∞）上的单调递减的，

所以n=1，f（x）是正无穷大，
而f（x）=1时，x=a-2，则loga〔（1+a-2）/（a-2-1）〕=1，得a=2+√3（a=2-√3<1舍去）

当当0<a<1时，则f（x）的值域为（1，+∞），则定义域一定在（-∞，-1）

所以f（x）=1时，x=n，则f（x）为正无穷时，x=-1，即a-2=-1，所以a=1舍去

所以综合 得a=2+√3，n=1