Question

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证:方程f'(x)-f(x)=0在(a,b)内至少有一根

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证:方程f'(x)-f(x)=0在(a,b)内至少有一根我知道这题要构造一个函数g（x）=e^x·f(x)。但是这个构造思路是怎样的？下面这张图是我们老师写的，好像是构造思路，但我没有看懂。

Answer 1

证明：g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，g(a)=g(b)=0,所以满足罗尔定理。
故（a,b)内至少存在一点c,使得g′(c)=0，
而g′(x)=[e^xf′(x)-e^xf(x)]/(e^x)^2
=f′(x)-f(x)]/e^x g′(c)
=[f′(c)-f(c)]/e^c,
g′(c)=0,
f′(c)-f(c)=0,f′(c)=f(c)

追问

不是。。。我是想问构造思路，就是我发的那个图。