Question

求解几道高二数学题！

这些题我有思路，但是总是在解得时候遇到许多麻烦。
是关于解三角形的
1在△ABC中，角A为锐角，则sinA+cosA的取值范围是—
解：sinA+cosA=√2（√2/2sinA+cosA√2/2)
=√2sin(A+π/4)
∵角A为锐角 ∴A∈（0，π/2)
当A为π/4时，此式有最大值√2
当A为0时，此式有最小值1
∴（1，√2｝
这是正确答案，我的问题是为什么当A为π/4时，此式有最大值√2
当A为0时，此式有最小值1 ？
2在△ABC中，证明a≥bsinA
证明：a/b=sinA/sinB
sinB=bsinA/a
sinB≤1
a≥bsinA
以上是解法，请问第三步那个sinB≤1是怎么得出来的？
3在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,试判断△ABC形状
解：∵acosA+bcosB=ccosC
∴sin2A+sin2B=sin2C
往下怎么解？请详细点。
4在△ABC中，若（a²+c²-b²）tanB=√3ac,则角B的值为？
请详细的写出解答过程。
5若把一个直角三角形的三边增加同样的长度，则这个三角形的形状为？
请详细写出解答过程。
6在△ABC中，B=60°，b²=ac,则△ABC一定是
A锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
解：b²=a²+c²-2acx1/2
=a²+c²-ac
b²=ac
a²+c²-ac=ac
a²+c²-2ac=0
往下该怎么计算？正确结果应是a=c
7在△ABC中，已知（b+c）：（c+a)：（a+b)=4:5:6,则此三角形最大内角是？
请详细解答
8在△ABC中，已知a²+b²+c²=2c²（a²+b²），则角C等于？
请详细解答
9在△ABC中，B=45°，AC=√10，cosC=2√5/5
（1）求BC的长？
（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度？

期待你精彩的回答！

Answer 1

1. A∈(0，π/2),则T=A+π/4∈(π/4，3π/4),在(π/4，π/2)上sinT单增，在(π/2，3π/4)上sinT单减，故最大值为sin(π/2)=1; 极小值在端点处
sin(π/4)=√2/2=sin(3π/4). 这里是开区间，端点值只能是极值。
2. 原来你不明白sin，cos函数的值域啊？？？正弦，余弦值域都是[-1,1].
3. 法1；acosA+bcosB=ccosC==>sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
==> sin2A+sin2B=sin2C=sin(2π-2A-2B)=-sin(2A+2B)
==> 0=sin2A+sin2B+sin(2A+2B)=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A(1+cos2B)+sin2B(1+cos2A)=4sinAcosA(cosB)^2+4sinBcosB(cosA)^2
=4cosAcosBsin(A+B),
因sin(A+B)=sin(π-C)=sinC>0 故cosA=0或cosB=0,
==>A=π/2或B=π/2, △ABC是直角三角形.
法2；acosA+bcosB=ccosC,
a*(b^2+c^2-a^2)/2bc+b*(a^2+c^2-b^2)/2ac=c*(a^2+b^2-c^2)/2ab,
方程式各项同时乘以2abc,得到 a^4+b^4-2(ab)^2=c^4,
==> (a^2-b^2)^2=c^4,==>a^2-b^2=c^2,==> a^2=b^2+c^2,
故 角A为直角, ABC为直角三角形.

4. 余弦定理，a²+c²-b²=2ac*cosB, 结合已知条件得，
2ac*cosB*tanB=√3ac ==> sinB=√3/2 ==> B=π/3, or 2π/3.
5.
6. 这就是完全平方展开式啊，反过来，就是配方！
a²+c²-2ac=0 即 (a-c)^2=0 ==> a-c=0 ==>a=c ==>A=C, 等腰三角形，
注意！！B=60度，所以ABC为等边三角形。
7. (b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,==> a=7c/3, b=5c/3. 知a>b>c.
最大内角为A。余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1.3 <1,
==> 钝角 A=180-arccos(1.3) .
8.
9. 作AE垂直BC于E，因为B=45°，所以BE=AE；
又 CE=AC*cosC=2√2，知 AE=sqrt(AC^2-CE^2)=√2.
故 BC=CE+BE=3√2.
由于 AB=AE/sinB=2, 故BD=1.
余弦定理，CD=sqrt(BC^2+BD^2-2BC*BD*cosB)=√13.