一道初中数学问题
如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D,E,F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE,CD为EF的中垂线,求证:BF=2AD。...
如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D,E,F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE,CD为EF的中垂线,求证:BF=2AD。
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4个回答
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我们先来分析下这道题:
可以依据题目描述分析,
“△ABC中,∠A=90°,AB=AC,”,可知:等腰直角三角形ABC,顶角是A,
“D,E,F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE,”,从这个条件可以知道,EF是在相对的位置上的,但是具体的AE、AF的长度并不知晓,
“CD为EF的中垂线”,由这一句就可以确定E、F的位置了,怎样理解这句题目呢,中垂线就是垂直平分,不知道大家现在能不能看到等腰△EFC,而其中的两个全等的小直角△,∠1=∠2
“求证:BF=2AD”,要将BF、AD联系起来,而AD=AE,要想办法将他们联系起来
我们利用∠1=∠2,从D做BF的垂线DG,交BF于G点,易证明△ADC△GDC全等,又因△CEO△CFO全等,知:AD=DG,AE=GF
又有显然,BG=GD,
由以上相等关系,可知,BF=BG+GF=DG+AE=AD+AD=2AD
梳理下:
从D做BF的垂线DG,交BF于G点,
因为,DC是EF的中垂线,
所以,∠1=∠2
所以,△ADC△GDC全等,△CEO△CFO全等
易知:AD=DG,AE=GF
又知△GBD为等腰直角△,所以,BG=GD,
因此:BF=BG+GF=DG+AE=AD+AD=2AD
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CD与EF的交点为O,∵CD为EF的中垂线,可得,△EOC≌△FOC(SAS),∴CE=CF,
再作DG⊥BC,可得△ADC≌△GDC(SAS),∴AD=DG,AC=CG,AC-CE=GC-CF,即AE=GF.又∵∠B=∠BDG=45°,∴BG=DG.又∵AD=DG,∴BG=AD,又∵AD=AE、AE=GF,GF=AD,∴BG=AD=GF,∴BF=2AD
再作DG⊥BC,可得△ADC≌△GDC(SAS),∴AD=DG,AC=CG,AC-CE=GC-CF,即AE=GF.又∵∠B=∠BDG=45°,∴BG=DG.又∵AD=DG,∴BG=AD,又∵AD=AE、AE=GF,GF=AD,∴BG=AD=GF,∴BF=2AD
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由CD为EF的中垂线可知(1)CE=CF(2)∠BCD=∠ACD,CF=CE=AC-AE=AB-AD,则BF=BC-CF=BC+AD-AB。
下面证明BC-AB=AD,延长BA至G,使AG=AD,这样,△ADC全等于△AGC,∠AGC=∠AD)∠BCD=∠ACDC=∠DBC+∠DCB=67.5°(由(2)知∠BCD=∠ACD=22.5°),而∠GCB=∠ACG+∠ACB=∠ACD+∠ACB=67.5°(同上个括号),所以,△GBC是以∠GBC为顶角的等腰三角形,GB=BC,又因为GB=GA+AB=AD+AB,故AD+AB=BC,所以BF=BC+AD-AB=(BC-AB)+AD=2AD,得证。
叙述可能有问题希望楼主谅解。
下面证明BC-AB=AD,延长BA至G,使AG=AD,这样,△ADC全等于△AGC,∠AGC=∠AD)∠BCD=∠ACDC=∠DBC+∠DCB=67.5°(由(2)知∠BCD=∠ACD=22.5°),而∠GCB=∠ACG+∠ACB=∠ACD+∠ACB=67.5°(同上个括号),所以,△GBC是以∠GBC为顶角的等腰三角形,GB=BC,又因为GB=GA+AB=AD+AB,故AD+AB=BC,所以BF=BC+AD-AB=(BC-AB)+AD=2AD,得证。
叙述可能有问题希望楼主谅解。
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(设CD交点为M)
在FB上截取FN=AD
连接DN
∵CD为EF中垂线
∴角CMF=∠CME=90
EM=FM
又∵CM=CM
∴CFM全等于CEF
∴CF=CE
∠DCF=∠DCA
∴CN=CA
又∵CD=CD
∴△CND全等于△CAD
∴∠A=∠DNC
DN=DA
∵∠A=90 AB=AC
∴∠B=45
∠DNC=∠DAC=45
∴∠BDN=45
∴BN=DN
∴BN=DN=AD=AE=NF
∴BN+NF=2AD
即BF=2AD
在FB上截取FN=AD
连接DN
∵CD为EF中垂线
∴角CMF=∠CME=90
EM=FM
又∵CM=CM
∴CFM全等于CEF
∴CF=CE
∠DCF=∠DCA
∴CN=CA
又∵CD=CD
∴△CND全等于△CAD
∴∠A=∠DNC
DN=DA
∵∠A=90 AB=AC
∴∠B=45
∠DNC=∠DAC=45
∴∠BDN=45
∴BN=DN
∴BN=DN=AD=AE=NF
∴BN+NF=2AD
即BF=2AD
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