Question

矩阵的行列式怎么算

比如A=-1 1 0 的行列式是什么啊
-1 0 0
-1 0 -2

Answer 1

矩阵的行列式怎么算？矩阵行列式
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矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|n-1，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1。
中文名
矩阵行列式
所属学科
数学
所属问题
高等代数(矩阵)
简介
矩阵的全部元素构成的行列式
快速
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相关定理
基本介绍
一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：
把一个n阶行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij。记Aij=(-1)i+jMij，叫做元素aij的代数余子式。例如：
一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和，即[1]:
相关定理
定理1 设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)[2]。
证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：
det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)，
由于Mij均为k×k矩阵，由归纳假设有
此式右端恰是det(AT)按照AT的第一列的余子式展开。因此
定理2 设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。
根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。
定理3 令A为n×n矩阵。
(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0。
(ii) 若A有两行或两列相等，则det(A)=0。
这些结论容易利用余子式展开加以证明

Answer 2

对角线展开：
|a1 b1| =a1b2-a2b1
|a2 b2|

|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-a3b2c1-b3c2a1-c3a2b1
|a3 b3 c3|

降阶展开（适合高阶行列式）
如三阶行列式 按第一阶展开
|a b c|
|d e f |=a×|e f|-b×|d f|+c×|d e|
|g h i | |h i| |g i| |g h|
按中阶展开
以上行列式=e×|a c|-d×|b c|-f×|a b|
|g i| |h i| |g h|
其他行列式计算相仿

Answer 3

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。