Question

已知a,b为正实数,且a +b=1,求证(a+1/2)^2+(b+1/2)^2小于等于2

Answer 1

（√（a＋1/2）＋√(b＋1/2)）的平方=a+b+1+2√（a＋1/2）*(b＋1/2)
=2+2√（ab+1/2(a+b)+1/4),
由于a+b=1,所以ab<=1/4,，上式小于等于4，当且仅当a=b=1/2时等号成立。

追问

2+2√（ab+1/2(a+b)+1/4)大于4了吧

追答

嗯

Answer 2

左边=a²+b²+a+b+1/2
=(a+b)²-2ab+1+1/2
=5/2-2ab

因为1=a+b≥2√(ab)
所以√ab≤1/2
ab≤1/4
所以-2ab≥-1/2
5/2-2ab≥2
所以(a+1/2)²+(b+1/2)²≥2