Question

几道关于复数的数学题~

已知复数z=a+bi,若z的共轭=[(2+4i)/k]-3aki,求|z-i|+|z+i|的最小值
已知α,β∈C,且α^2+β^2=2β,|α-β|=2,且,试求|α|与|β|的值
已知[z+(1/3)]/[z-(1/3)]为纯虚数,则|z|=

Answer 1

1.z的共轭=[(2+4i)/k]-3aki
So:Z=[(2+4i)/k]+3aki,
实部虚部对应相等：
a=2/k;b=3ak+4/k=6+4/k
z-i=a+(b-1)i ; z+i=a+(b+1)i
z²=a²+b²,i²=-1
|z-i|²=a²+(b-1)²
|z+i|²=a²+(b+1)²

(|z-i|+|z+i|)²
=|z-i|²+2*(z²-i²)+|z+i|²
=a²+(b-1)²+a²+(b+1)²+2*(a²+b²+1)
=4(a²+b²+1)

令1/k=t,则a=2t,b=6+4t,带入：
a²+b²
=4t²+(6+4t)²
=20t²+48t+36
=20(t+6/5)²+36/5
a²+b²的最小值为36/5；
4(a²+b²+1)的最小值为164/5；
|z-i|+|z+i|的最小值为sqrt(164/5)

……
太累了，又不给分，就给你做一道吧。。。