Question

考研数学

考研数学 题89

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Answer 1

先求个一阶导数吧。
g'(x)=1-cosx
f'(x)=arctan(tanx)^2
再求一次
g"(x)=sinx
f"(x)=2tanx/[cos^2x(1+tan^4x)]
=2tanx/[cos^2x+(1-cos^2x)^2/cos^2x]
=2tanx/[2cos^2x+1/cos^2x-2]
=2sinxcosx/(2cos^4x-2cos^2x+1)
=sin(2x)/{[cos(2x)+1](cos^2x-1)+1}
=2sin(2x)/[cos^2(2x)+1]
=4sin(2x)/[cos(4x)+3]
其实现在已可以比较了
g"(x)/f"(x)=[cos(4x)+3]/(8cosx)=1/2
不放心就继续
g"'(x)=cosx
f'"(x)=8cos(2x)/[cos(4x)+3]+16sin(2x)sin(4x)/[cos(4x)+3]^2
则limg"'(x→0)=1，limf"'(x→0)=2。
即两个无穷小同是三阶无穷小(是这样说的吧?)