Question

∫(π/4~π/2)dθ∫(cscθ~2sinθ)f(rcosθ,qsinθ)rdr在直角坐标系下

∫(π/4~π/2)dθ∫(cscθ~2sinθ)f(rcosθ,qsinθ)rdr在直角坐标系下∫(π/4~π/2)dθ∫(cscθ~2sinθ)f(rcosθ,qsinθ)rdr在直角坐标系下先y后x 的二次积分是

Answer 1

解：由题设条件，有π/4≤θ≤π/2，cscθ≤r≤2sinθ。∴以极点为原点的直角坐标系下，(x,y)在其第一象限。
设x=rcosθ，y=rsinθ。由r≤2sinθ有，r²≤2rsinθ。∴x²+y²≤2y；由cscθ≤r有，1≤rsinθ=y。∴1≤y≤1+√(1-x²)。
又，由π/4≤θ有，tan(π/4)≤tanθ=rsinθ/rcosθ=y/x，∴y≥x。
而，y=x与x²+y²=2y的交点为(1,1)，∴0≤x≤1。∴原式=∫(0,1)dx∫(1,1+√(1-x²))f(x,y)dy。
供参考。