Question

微分方程，求详解，不要网上的答案谢谢

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

解：直线L过点(6，3，1/2)，其方向矢量N={2，1，-1};
椭球面F(x，y，z)=x²+2y²+3z²-21=0上任意一点Mo(xo，yo，zo)处的切平面π的方程为：
2xo(x-xo)+4yo(y-yo)+6zo(z-z0)=0，展开得：
2xox+4yoy+6zoz-(2xo²+4yo²+6zo²)=2xox+4yoy+6zoz-2(xo²+2yo²+3zo²)
=2xox+4yoy+6zoz-42=0，化简系数得：xox+2yoy+3zoz-21=0..............①
直线L在平面π上，因此平面π的法向矢量n={xo，2yo，3zo}⊥直线的方向矢量N；
即有：n•N=2xo+2yo-3zo=0.....②直线L上的点(6，3，1/2)在平面π上，将坐标代入①式得：
6xo+6yo+(3/2)zo-21=0，化简系数得：4xo+4yo+zo-14=0........③
切点(xo，yo，zo)在平面π上，因此还有等式：xo²+2yo²+3zo²-21=0.........④
②③④联立求解: ③-2×②得 7zo-14=0，故zo=2；代入③④得：
4xo+4yo-12=0，即xo+yo-3=0.........⑤； xo²+2yo²-9=0...........⑥
由⑤得xo=3-yo，代入⑥得：yo²-2yo=yo(yo-2)=0，故得yo₁=0；yo₂=2；
于是得：xo₁=3；xo₂=1；z0=2；代入①式即得π的方程为：x+2z-7=0或x+4y+6z-21=0；

Answer 3

对x^2+2y^2+3z^2=21(1)微分得
2xdx+4ydy+6zdz=0,
所以切平面π方程是x0(x-x0)+2y0(y-y0)+3z0(z-z0)=0,
直线l方程变为(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1/2)/(-1)
切平面π过直线l,
所以x0(6-x0)+2y0(3-y0)+3z0(1/2-z0)=0,(2)
且2x0+2y0-3z0=0,(3)
x0^2+2y0^2+3z0^2=21.(4)
(2)+(4),6x0+6y0+(3/2)z0=21,(5)
(5)-(3)*3,(21/2)z0=21,z0=2,
代入(3),y0=3-x0,(6)
代入(4),x0^2+2(9-6x0+x0^2)=9,
3x0^2-12x0+9=0,
x0^2-4x0+3=0,
x0=1,或3，
代入(6),y0=2或0.
所以平面π的方程是x-1+4(y-2)+6(z-2)=0,或3(x-3)+6(z-2)=0,
即x+4y+6z-20=0,或x+2z-7=0.