Question

求数学大佬解答问题啊emmm...





Answer 1

let
u=x-t
du = -dt
t=0, u=x
t=x, u=0
=> ∫(0->x) f(x-t) dt = ∫(0->x) f(u) du = ∫(0->x) f(t) dt
-----------------

lim(x->0) ∫(0->x) (x-t)f(t) dt / [x.∫(0->x) f(x-t) dt ]
=lim(x->0) [ x∫(0->x)f(t) dt -∫(0->x) tf(t) dt ]/ [x.∫(0->x) f(t) dt ] (0/0)
=lim(x->0) [ xf(x)+∫(0->x)f(t) dt -xf(x) ]/ [∫(0->x) f(t) dt + xf(x) ]

=lim(x->0) ∫(0->x)f(t) dt / [∫(0->x) f(t) dt + xf(x) ] (0/0)
=lim(x->0) f(x) / [f(x) + f(x) -xf'(x) ]

=1/2

追问

=> ∫(0->x) f(x-t) dt = ∫(0->x) f(u) du = ∫(0->x) f(t) dt
这个是为什么呢？

追答

这样

u=x-t
du = -dt
t=0, u=x
t=x, u=0
∫(0->x) f(x-t) dt
=∫(x->0) f(u) (-du)
= ∫(0->x) f(u) du

= ∫(0->x) f(t) dt

追问

答案是三分之一😣️
=lim(x->0) [ x∫(0->x)f(t) dt -∫(0->x) tf(t) dt ]/ [x.∫(0->x) f(t) dt ] (0/0)
这个直接把分母换为 F(t)这里的t和上面换的t表示的意义相同吗?_?

Answer 2

洛必达法则用三次就ok了