Question

什么是商？被除数除以除数的得数为什么叫做商，这个商定义的来源是什么？

我们可以这么理解：两个数相加的得数叫和，是一个数和两另一个数在一起的结果
被减数减去减数得数叫差，是一个数和另一个数的差距
两个数相乘得数叫积，是两个数累积在一起的得数
那么问题来了，一个数被另一个数相除，得数为什么叫商呢，怎么解释这个商的意义？

Answer 1

商，是“商议、商讨”“商贾、行商”的“商”，这两方面的意义是相通的——商议需要讨论、交流，商贾做生意也需要在价钱上进行讨论、交流。

除法与加、减、乘法的计算很不相同——无论在计算方法、书写形式、计算过程上都不同，加、减、乘法都是直接加、减、乘，除法的计算却还包含着乘和减，计算过程中还需要“试商”——这不是在“商讨”吗？从中意义上就把计算除法的过程和结果称为“商”

对于形式如下的除法运算式，

a ÷ b = c (或 a / b = c ) ①

来说， a 称为 被除数，b 称为 除数，c 称为 商。

当 a、b、c 同属于 实数域 R（或 有理数域 Q，或 复数域 C） 时，除法可定义为乘法的逆运算，即，

a ÷ b = c ≡ a × b⁻¹ = c ②

其中，b⁻¹ 称为 b 的逆元（《中学数学》中称为 倒数），其满足：

b × b⁻¹ = b⁻¹ × b = 1

显然，由于 0 乘任何数都是 0，所有 0 不存在逆元，进而 0 不能作为被除数。

当 a、b、c 均来自 整数环 Z 时， 因为 除了 1 外 任何整数的 倒数都不是 整数，故，除了 1 外 任何整数都没有逆元，所以 我们不能像 ② 式 这样定义 ①。但，可以证明：

对于任意 整数 a、b 必然存在唯一的一对整数 c、r 满足：

a = c×b + r, 0 ≤ r < |b| （当 b|a 时 r = 0）

注：b|a 表示 b 整除 a。
于是，我们将 ① 改写为：

a ÷ b = (c, r) （或 a ÷ b = c 余 r） ①'

称 为 带余数除法，其中 a、b、c 称谓不变，r 称为 余数。

Answer 2

《现代汉语规范字典》对字义是按字义引申的脉络排序的。但是，却把除法的得数"商"单独列了一个字头，这就看不出它是从哪里引申而来了。
可以这样推测一下:
最早的字典《说文解字》对"商"的解释是"从外知内也"(从外面测内部的情况)
。这与商讨、商量就有点联系了吧！
商，是“商议、商讨”“商贾、行商”的“商”，这两方面的意义哪个是从哪个引申来的还真不好说。不过这两方面的意义也是相通的——商议需要讨论、交流，商贾做生意也需要在价钱上进行讨论、交流。除法与加、减、乘法的计算很不相同——无论在计算方法、书写形式、计算过程上都不同，加、减、乘法都是直接加、减、乘，除法的计算却还包含着乘和减，计算过程中还需要“试商”——这不是在“商讨”吗？从这个意义上说，把计算除法的过程和结果称为“商”不是很有道理吗？

Answer 3

什么是商？被除数除以除数的得数为什么叫做商，这个商定义的来源是什么？《现代汉语规范字典》对字义是按字义引申的脉络排序的。但是，却把除法的得数"商"单独列了一个字头，这就看不出它是从哪里引申而来了。
可以这样推测一下:
最早的字典《说文解字》对"商"的解释是"从外知内也"(从外面测内部的情况)
。这与商讨、商量就有点联系了吧！
商，是“商议、商讨”“商贾、行商”的“商”，这两方面的意义哪个是从哪个引申来的还真不好说。不过这两方面的意义也是相通的——商议需要讨论、交流，商贾做生意也需要在价钱上进行讨论、交流。除法与加、减、乘法的计算很不相同——无论在计算方法、书写形式、计算过程上都不同，加、减、乘法都是直接加、减、乘，除法的计算却还包含着乘和减，计算过程中还需要“试商”——这不是在“商讨”吗？从这个意义上说，把计算除法的过程和结果称为“商”不是很有道理吗？

Answer 4

商，正如你说的“被除数除以除数的结果就叫商”，这是人们对数学中的一些概念的命名，没有为什么，只是一个称呼，就好像人要取个名，各种东西要取名一样，不然怎么叫？