Question

在△abc中,b=√3,∠b=60°,求a＋2c的最大值

Answer 1

b=√3, B=60°
a = bsinA/sinB = √3sinA/sin60° = 2sinA
c= bsinC/sinB = 2sinC
/
S
= a+2c
=2sinA + 4sinC
=2sin(120°-C) + 4sinC
=2[ (√3/2)cosC + (1/2)sinC ] +4sinC
=√3cosC + 5sinC
=√28[ (√3/√28)cosC + (3/√28)sinC ]
=√28.sin(φ+C)
where sinφ = √3/√28, cosφ=(3/√28)
max S= max a+2c =√28=2√7

Answer 2

高中题，正余弦定理搞定。数学的第一道大题，可要掌握。

Answer 3

由余弦定理，有：a^2＋c^2－2accosB＝b^2＝3，又B＝60°，∴2cosB＝1，
∴a^2＋c^2－ac－3＝0。
令a＋2c＝k，则：k＞0、且a＝k－2c，∴（k－2c）^2＋c^2－（k－2c）c－3＝0，
∴k^2＋4c^2－4kc＋c^2－kc＋2c^2－3＝0，∴7c^2－5kc＋k^2－3＝0。
c自然是实数，∴判别式＝25k^2－4×7（k^2－3）≧0，∴25k^2－28k^2＋3×28≧0，
∴3k^2≦3×28，∴k^2≦28，∴k≦2√7。
∴（a＋2c）的最大值是2√7。