Question

高等数学的极值问题

高等数学的极值问题第31题

Answer 1

高数方法：
f = xy(a-x-y) = axy-yx^2-xy^2
f'<x> = ay-2xy-y^2 = y(a-2x-y)
f'<y> = ax-x^2-2xy = x(a-x-2y)
得驻点 (0,0), (0,a), (a,0), (a/3, a/3)
A：f''<xx> = -2y, B： f''<xy> = a-2x-2y, C：f''<yy> = -2x
对于驻点 (0,0), (0,a), (a,0) ，AC-B^2<0, 不是极值点。
对于驻点 (a/3, a/3) ，A=-2a/3<0, AC-B^2 = 4a^2/9 - a^2/9 > 0,
故 (a/3, a/3) 为极大值点， 极大值 f<max> = a^3/27。
初数方法：
f = xy(a-x-y) ≤ { [x+y+(a-x-y)]/3}^3 = a^3/27
最大值在 x = y = a/3 时取得。