帮忙解决一下复数的问题
设w是x^3=1的一个虚根,求(1+w)*(1+w^2)*(1+w^4)*(1+w^8)和w^n+w^-n(n属于正整数)的值谢谢...
设w是x^3=1的一个虚根,求 (1+w)*(1+w^2)*(1+w^4)*(1+w^8) 和w^n + w^-n (n属于正整数)的值 谢谢
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第一个好求一些:
(1+w)*(1+w^2)*(1+w^4)*(1+w^8)
=(1-w)*(1+w)*(1+w^2)*(1+w^4)*(1+w^8)/(1-w)
=(1-w^16)/(1-w)
由于w^3=1
故w^15=1
故(1+w)*(1+w^2)*(1+w^4)*(1+w^8)
=(1-w^16)/(1-w)
=(1-w)/(1-w)
=1
第二问要用到三角形式:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
故w是方程x^+x+1=0的一根
w1=cos2/3π+isin2/3π
w2=cos2/3π-isin2/3π
故w1w2=1
将w1代入:
其中:1/w1^n=w2^n
故w^n + w^-n=w1^n+w2^n
=2cos2n/3π
(这里用到棣莫弗定理)
(1+w)*(1+w^2)*(1+w^4)*(1+w^8)
=(1-w)*(1+w)*(1+w^2)*(1+w^4)*(1+w^8)/(1-w)
=(1-w^16)/(1-w)
由于w^3=1
故w^15=1
故(1+w)*(1+w^2)*(1+w^4)*(1+w^8)
=(1-w^16)/(1-w)
=(1-w)/(1-w)
=1
第二问要用到三角形式:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
故w是方程x^+x+1=0的一根
w1=cos2/3π+isin2/3π
w2=cos2/3π-isin2/3π
故w1w2=1
将w1代入:
其中:1/w1^n=w2^n
故w^n + w^-n=w1^n+w2^n
=2cos2n/3π
(这里用到棣莫弗定理)
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