Question

这个证明题怎么做

Answer 1

设p(x)=f(x)-x
则：p(0)=f(0)-0=0
p(1/2)=f(1/2)-(1/2)=1/2
p(1)=f(1)-1=-1/2
而显然p(x)在区间[0,1]连续，因为p(1/2)>0，p(1)<0,
所以必存在一点1/2<m<1，使得：p(m)=0，所以：p(m)=p(0)

而显然p(x)在区间(0,1)可导，
所以：根据罗尔定理，在区间(0,m)内必存在一点ξ，使得p'(ξ)=0
所以：在区间(0,1)内必存在一点ξ，使得p'(ξ)=0，
即：f'(ξ)-1=0
即：f'(ξ)=1