Question

有关不等式的数学问题

已知x＞0，y＞0，x2-x+y2=8，求x2+y2的取值范围（答案是【16/3，16】），求过程，谢谢！
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Answer 1

已知x＞0，y＞0，x²-x+y²=8，求x²+y²的取值范围
解(一）：x²-x+y²=(x-1/2)²-(1/4)+y²=8；故得(x-1/2)²+y²=33/4;
这是一个圆心在(1/2，0)，半径r=(√33)/2的园。
设x=(1/2)+(√33/2)cost；y=(√33/2)sint；(0≦t≦π/2+arccos[4√(2/33)];
于是x²+y²=[(1/2)+(√33/2)cost]²+[(√33/2)sint]²=(1/4)+(√33/2)cost+(33/4)
=(17/2)+(√33/2)cost
当t=0时得max(x²+y²)=(17/2)+(√33/2)=(17+√33)/2；
当t=π/2+arccos[4√(2/33)]时min(x²+y²)=(17/2)+(√33/2)cos{π/2+arccos[4√(2/33)}
=(17/2)-(√33/2)sin{arccos[4√(2/33)}=(17/2)-(√33/2)√(1-32/33)=8；
即8<x²+y²<(17+√33)/2;【因为x≠0,y≠0所以只能是开区间】
解(二)：x²+y²=8+x；当y=0时x²-x-8=0,此时x=(1+√33)/2；
故max(x²+y²)=8+(1+√33)=(17+√33)/2；当x=0时min(x²+y²)=8;
∵x>0，y>0，即x≠0，y≠0；∴8<x²+y²<(17+√33)/2;
【你给的答案是错的】

Answer 2

是 x≥0，y≥0 吧？
令 x²+y²=x+8=t，则 x=t-8，
由 y²=x+8-x²≥0 得 t-(t-8)²≥0，①
由 x≥0 得 t-8≥0，②
解以上两个不等式，得
8 ≤ t ≤ (17+√33)/2，
所以，所求 x²+y² 的取值范围是
[8，(17+√33)/2]。
(感觉题目数据有误，似乎抄错题)